Numeri fracti по-русски
История древнерусских дробей
На русской земле первым математиком, изложившим деление целого на части, стал новгородский монах Кирик. В 1136 году он написал труд, в котором изложил метод «счисления лет». Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В своем труде он привел в том числе и деление часа на части: пятые, двадцать пятые и так далее доли. Деление целого на части применялось при расчете размера налога в XV-XVII веках. История возникновения дробей на Руси. В русских рукописных арифметиках XVII века дроби называли долями, позднее «ломаными числами». В старых руководствах находим следующие названия дробей на Руси: 1/2 — половина, полтина. 1/3 – треть. 1/4 – четь. 1/6 – полтреть. 1/8 — полчеть. 1/12 –полполтреть. 1/16 — полполчеть. 1/24 – полполполтреть (малая треть). 1/32 – полполполчеть (малая четь). 1/5 – пятина. 1/7 — седьмина. 1/10 — десятина. |
Основные Дроби
Цифирь – это местный аналог римской системы счисления, где вместо привычных для нас цифр использовались кириллические буквы, но с рядом своих характерных особенностей, которые существенно усложняли ее использование.
Система древнерусских дробей. В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх.
Так появляются понятия: пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д.
Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.
Дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры, это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.
Надо иметь в виду, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
Наконец, следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2,1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3,1/2 = полчетверты; 4,1/2 = полпяты; 5,1/2 = полшесты; 6,1/2 = полсемы; 7,1/2, = полосьмы; 8,1/3 = полдевяты; 10,1/2 = полдесяти и т. д.
Не следует путать выражения: полтретьи (2,1/2) и пол-трети (1/6); полчетверты (3,1/2) и пол-четверти (1/8).
Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4,3/4 = 5 без четверти, 6,7/8 = = 7 без пол-четверти. 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.
Оперируя системой дробей при рассмотрении земельных площадей, надо опять-таки учитывать разницу между четвертью, как единицей измерения поверхности, и четвертью как дробью = 1/4.
Выражение — 2 четверти с осьминою и — пол-пол-третника пашни — означает 2 четверти пашни + 1/2 четверти пашни + 1/12 четверти пашни = 2,7/12 четверти пашни.
4 четверти без третника пашни = 4 — 1/3 четверти пашни = 3,2/3 четверти пашни.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя.
Система древнерусских дробей. В источниках часто встречается деление отдельных мер и денежных единиц на более мелкие части по системе двух и трёх.
Так появляются понятия: пол-трети коробьи, пол-четверти зобницы, пол-деньги и т. д.
Дальнейшее присоединение частицы «пол» даёт ещё более дробные части, делящиеся на два.
Дробное выражение пол-четверти — 1/8. Но половина четверти как земельной меры, это — осьмина (более мелкая единица измерения). Следовательно, пол-осьмины = 1/4 четверти как земельной меры, пол-пол-осьмины = 1/8 (или пол-четверти) четверти как земельной меры.
Надо иметь в виду, что часто в древнерусских источниках дроби выражаются посредством сложения и вычитания. Например, 11/24 = треть (1/3) и пол-пол-трети (+ 1/12) и пол-пол-пол-трети (+ 1/24). Или 29/96 = треть без пол-пол-пол-четверти (1/3 — 1/32).
Наконец, следует остановиться также на обозначении целых чисел с дробями. Для обозначения какого-то числа единиц без половины единицы употребляется выражение: пол-указанного неполного количества единиц. Например: 2,1/2 = полтретьи (три без половины, 2 единицы и половина третьей единицы); 3,1/2 = полчетверты; 4,1/2 = полпяты; 5,1/2 = полшесты; 6,1/2 = полсемы; 7,1/2, = полосьмы; 8,1/3 = полдевяты; 10,1/2 = полдесяти и т. д.
Не следует путать выражения: полтретьи (2,1/2) и пол-трети (1/6); полчетверты (3,1/2) и пол-четверти (1/8).
Целое число с дробью (больше половины) древнерусские источники выражают путём вычитания. Например, 4,3/4 = 5 без четверти, 6,7/8 = = 7 без пол-четверти. 9,11/12 = 10 без пол-пол-трети.
Для целых чисел с дробью (меньше половины) мы найдём такие выражения: два с третью (2,1/3), три с четвертью (З,1/4) и т. д.
Оперируя системой дробей при рассмотрении земельных площадей, надо опять-таки учитывать разницу между четвертью, как единицей измерения поверхности, и четвертью как дробью = 1/4.
Выражение — 2 четверти с осьминою и — пол-пол-третника пашни — означает 2 четверти пашни + 1/2 четверти пашни + 1/12 четверти пашни = 2,7/12 четверти пашни.
4 четверти без третника пашни = 4 — 1/3 четверти пашни = 3,2/3 четверти пашни.
О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В.Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее: «В рукописи XVIIв. «Статия численная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя.
С XVI века в России большой популярностью пользовался дощаной
счет – вычисления при помощи прибора, бывшего прообразом русских счетов. Он позволял быстро и легко производить сложные арифметические действия. Дощаной счет имел весьма широкое распространение среди торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков» - землемеров, монастырских экономов и т.д.
В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России
15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I
счет – вычисления при помощи прибора, бывшего прообразом русских счетов. Он позволял быстро и легко производить сложные арифметические действия. Дощаной счет имел весьма широкое распространение среди торговцев, служащих московских приказов, «мерщиков» - землемеров, монастырских экономов и т.д.
В первоначальной форме дощаной счет был специально приспособлен к нуждам сошной арифметики. Это система налогового обложения в России
15—17 вв., при которой, наряду со сложением, вычитанием, умножением и делением целых чисел, надо было производить те же операции и с дробями, поскольку условная единица обложения — соха, делилась на части.
Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления. Она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I
Интересные факты
- В древнерусской школеСначала цифры произносил учитель, а ученики вслед за ним хором повторяли каждую цифру, пока не запоминали. Но это был не беспорядочный крик, а повторение нараспев.
- В задачахДроби были важны для решения практических задач во всех странах
- Дробная черта (наклонная или горизонтальная)появилась всего 300 лет назад
Особенности древнерусского речевого выражения
При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть ... Что есть число ломаное, Магницкий отвечает: «Число ломаное не что же иное есть, токмо часть вещи, числом объявленная, сиречь полтина есть половина рубля, а пишется сице рубля, или рубля, или рубля, или две пятые части и всякие вещи яковые либо часть, объявлена числом, то есть ломаное число» . Магницкий приводит название всех правильных дробей со знаменателями от 2 до 10. ... Учение о дробях всегда оставалось труднейшим разделом арифметики, но в то же ... Изображение дробей в Древней Греции представлено в приложении №2. Современную систему записи дробей создали в Индии
Особенности древнерусского речевого выражения правильных и смешанных дробей в доцифирной арифметике При выговаривании дробей имелись особенности: четвертая часть называлась четью, дроби со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием "ина"(седьмина), доли со знаменателем больше 10 - выговаривали со словом "жеребей"(пять одиннадцатых жеребьев).Числитель назывался верхним числом, а знаменатель - исподним.
Сошная арифметика
Сошное письмо - в России XV-XVII веков описание земельных владений на селе и в городах Московского государства, кадастровая система, единицей которой служила соха; проводилось с целью последующего поземельного обложения, то есть сбора податей и отбывания повинностей. Сошное письмо изложено в рукописи «О земном же верстании, как землю верстать», в которой описаны правила нахождения площадей простых земельных участков.
Землю измеряли в четвертях, десятинах и их частях, а результат переводили в сохи или её части. Но соха не имела постоянный размер, а зависела от качества земли: 1 соха = 800 четвертям хорошей, 1000 четвертям средней и 1200 четвертям плохой земли. Наряду с сохой в качестве окладной единицы применялась выть(составляла 12 четвертей хорошей, 14 –средней и 16 – плохой земли). При этом существовал принцип «одабривания» определённое количество четвертей средней и плохой земли приравнивалось к соответствующему количеству хорошей земли. Сохи, четверти, трети.
Воссоздание древнерусского счетного устройства
Дощаный счет
Статья о дощаном счете имеется практически во всех рукописях, причем изложение сопровождается изменяющимися чертежами, которые представляют значительный интерес, в частности тем, что характеризуют процесс изменения конструкции русских счетов.
Наиболее сложные и, по-видимому, наиболее старые по типу - счеты с 4 полями, которые исследователи относят к самобытным отечественным счетным инструментам. Они специально приспособлены к нуждам “сошной арифметики”: поземельный налог взимался в зависимости от количества, качества и даже социального положения владельца земли, которую переводили в условные единицы - сохи. Этим занимались особые чиновники, для которых составлено специальное руководство “Книга сошному письму”.
В каждом из 4 полей было протянуто по 14 параллельных веревок или проволок. Если проволоки предназначались для счета целых чисел, то на них нанизывалось по 9 (иногда 10) костяшек; на других - меньшее количество. В одном из полей имелась проволока с 4 и 3 проволоки с 1 костью каждая. С их помощью велся счет четвертям, полчетвертям, пол-полчетвертям. Там, где имелась проволока с 3 костями, счет велся третями, полтретями и т.д. Не будем детально характеризовать особенности счета на этом приборе, т.к. сошное письмо во второй половине XVII в. вышло из употребления, и этот прибор представляет лишь исторический интерес.
Наиболее сложные и, по-видимому, наиболее старые по типу - счеты с 4 полями, которые исследователи относят к самобытным отечественным счетным инструментам. Они специально приспособлены к нуждам “сошной арифметики”: поземельный налог взимался в зависимости от количества, качества и даже социального положения владельца земли, которую переводили в условные единицы - сохи. Этим занимались особые чиновники, для которых составлено специальное руководство “Книга сошному письму”.
В каждом из 4 полей было протянуто по 14 параллельных веревок или проволок. Если проволоки предназначались для счета целых чисел, то на них нанизывалось по 9 (иногда 10) костяшек; на других - меньшее количество. В одном из полей имелась проволока с 4 и 3 проволоки с 1 костью каждая. С их помощью велся счет четвертям, полчетвертям, пол-полчетвертям. Там, где имелась проволока с 3 костями, счет велся третями, полтретями и т.д. Не будем детально характеризовать особенности счета на этом приборе, т.к. сошное письмо во второй половине XVII в. вышло из употребления, и этот прибор представляет лишь исторический интерес.
